מה הרעיון?

כל איבר אחרי האפס הראשון עושה בדיוק אחד משלושה דברים: חוזר על הערך הנוכחי (Level), חוזר לערך ישן אחר (Return), או משתמש בערך שעדיין לא הופיע (New). המודל נותן לשלושת סוגי האירועים משקלים אי־שליליים a, b ו-c.

התגמול המצטבר הופך ל“תקציב צמיחה” שמרחיב את טווח הערכים המותרים בצעדים הבאים. לכן אותה היסטוריית אירועים יכולה להיות חוקית עבור שלישיית משקלים אחת ולא חוקית עבור אחרת. כך כללי restricted-growth שונים הופכים לנקודות באותו מרחב פרמטרים.

L

Level

לחזור על הערך הנוכחי.

R

Return

לחזור לערך ישן ששונה מהערך הנוכחי.

N

New

לבחור ערך שעדיין לא הופיע.

למה זה מעניין?

כלל תלת־פרמטרי היה יכול להפוך בקלות לאוסף של מקרים לא קשורים. במקום זאת המאמר מוכיח משפט small-state: כל ההסתעפות העתידית נקבעת על ידי שני מספרים שלמים בלבד — מספר אפשרויות ה-Return ומספר אפשרויות ה-New הזמינות.

הצמצום הזה הוא המבנה המרכזי. הוא נותן succession rule אחיד, היסטוריית Event-Slot הפיכה ששומרת את דרגת הבחירה, ומערכת דיפרנציאלית משותפת לכל המשפחה. במקרים מיוחדים מתקבלים באופן טבעי אובייקטים קומבינטוריים קלאסיים.

Return-Growth ו-Reuse-Growth הן נקודות שכנות במשפחת Euler: ‏(0,1,0) ו-(1,1,0). ה-preprint הנפרד על Reuse-Growth חוקר את הנקודה השנייה לעומק מזווית של הימנעות מתבניות.

למאמר על Reuse-Growth ←

התוצאות המרכזיות

01

הסתעפות בשתי קואורדינטות

לכל שלישיית משקלים אי־שלילית (a,b,c), הערכים החוקיים הבאים מתחלקים בדיוק לבחירת Level אחת, p בחירות Return ו-q בחירות New. עדכון המצב תלוי רק ב-(p,q), ולא במילה המלאה.

02

Event-Slot encoding הפיך

כל המשך חוקי מותאם לפי דירוג ל-slot פעיל מסוג L, R או N. היסטוריית ה-slots המלאה נמצאת בביֶקציה עם המילה המקורית, ואפשר להפוך אותה על ידי מחיקת תווית הזמן האחרונה.

03

Master flow אחד וארבעה kernels מוכרים

פירוק ה-slots מוביל למערכת דיפרנציאלית משותפת ולנוסחה אינטגרלית עבור ה-EGF המוזז. ארבע המשפחות הבינאריות לפי (b,c) מקבלות kernels מסוג exponential, Bell, Euler ו-rational.

04

ביֶקציות ישירות למבנים קלאסיים

משפחות חשובות נשלחות ישירות ל-colored increasing forests בגובה לכל היותר שתיים, cycle–spider assemblies, partial injections ו-Dowling partitions.

05

מרחב אחד למודלים ותיקים וחדשים

שמונה וקטורי המשקל הבינאריים יוצרים Boolean core מסודר. restricted-growth words רגילים, level sequences, change sequences, subexcedant sequences, Return-Growth ו-Reuse-Growth מופיעים כולם כנקודות מפורשות באותה מסגרת.

למומחים

Abstract

Restricted-growth words are built by letting a prefix control which values may appear next. We introduce the weighted Event-Growth model, a three-parameter family based on three intrinsic relations between a new entry and its history: it may repeat the current value, return to another previously used value, or appear for the first time. Assigning nonnegative rewards to these Level, Return, and New events determines the future admissible range. Although admissibility depends on the entire prefix, we prove that all continuation multiplicities and state updates collapse to two integer coordinates. This yields a universal succession rule, a reversible Event-Slot encoding, a common differential system, and an integral formula for the shifted exponential generating functions. Four natural one-parameter families have exponential, Bell, Euler, and rational kernels. We construct direct bijections with colored increasing forests of height at most two, cycle–spider assemblies, partial injections, and Dowling partitions. Return-Growth and Reuse-Growth appear as neighboring points of the Euler family, placing several previously separate restricted-growth rules within one small-state and bijective framework.

נוסחאות מרכזיות

Growth budgetgₐ,ᵦ,𝑐(w) = aL(w) + bR(w) + cN(w)
Legal rulew₁ = 0, 0 ≤ wᵢ ≤ 1 + gₐ,ᵦ,𝑐(w₁…wᵢ₋₁)
Two-coordinate statep = N, q = g + 1 − N
Succession ruleL: (p,q)→(p,q+a); R: p×(p,q+b); N: q×(p+1,q+c−1)
Master flowU′ = UVᵇ, V′ = UVᶜ, M′ = MVᵃ, H = MV
Four zero–one kernelsV₀₀=eᵗ; V₀₁=e^(eᵗ−1); V₁₀=sec t+tan t; V₁₁=(1−t)⁻¹

Citation / BibTeX

@misc{kleiner2026weightedeventgrowth,
  author = {Igor Kleiner},
  title = {Weighted Event-Growth Sequences: Enumeration and Bijections},
  year = {2026},
  month = sep,
  note = {Preprint},
  doi = {10.5281/zenodo.22920635},
  url = {https://doi.org/10.5281/zenodo.22920635}
}