В чём идея?

Каждый элемент после начального нуля делает ровно одно из трёх: повторяет текущее значение (Level), возвращается к другому ранее использованному значению (Return) или вводит значение, которого ещё не было (New). Модель назначает этим событиям неотрицательные веса a, b и c.

Накопленная «награда» становится бюджетом роста и расширяет допустимый диапазон будущих значений. Поэтому одна и та же история событий может быть допустима при одном наборе весов и недопустима при другом. Разные restricted-growth правила становятся точками одного пространства параметров.

L

Level

Повторить текущее значение.

R

Return

Вернуться к старому значению, отличному от текущего.

N

New

Использовать значение, которое ещё не встречалось.

Почему это интересно?

Трёхпараметрическое правило легко могло превратиться просто в каталог частных случаев. Вместо этого доказывается small-state theorem: всё будущее ветвление определяется всего двумя целыми числами — количеством доступных Return-выборов и New-выборов.

Именно это сжатие даёт структуру: единое succession rule, обратимую Event-Slot историю, которая запоминает ранги выбранных продолжений, и общую дифференциальную систему для всего семейства. Классические комбинаторные объекты появляются в специальных «волокнах» параметров, а не как разрозненные совпадения.

Return-Growth и Reuse-Growth оказываются соседними точками Euler-семейства: (0,1,0) и (1,1,0). Отдельный препринт о Reuse-Growth подробно исследует вторую точку уже со стороны избегания паттернов.

Перейти к статье о Reuse-Growth →

Основные результаты

01

Теорема о двух координатах

Для любого неотрицательного набора весов (a,b,c) следующие допустимые значения распадаются ровно на один Level-выбор, p Return-выборов и q New-выборов. Обновления состояния зависят только от (p,q), а не от полного слова.

02

Обратимое Event-Slot кодирование

Каждое допустимое продолжение по рангу сопоставляется активному слоту типа L, R или N. Полная история слотов биективна исходному слову и обращается удалением последней временной метки.

03

Один master flow и четыре знакомых ядра

Slot-декомпозиция приводит к общей дифференциальной системе и интегральной формуле для сдвинутой экспоненциальной производящей функции. Четыре zero–one семейства по (b,c) имеют exponential, Bell, Euler и rational kernels.

04

Прямые биекции с классическими объектами

Важные семейства напрямую связываются с раскрашенными возрастающими лесами высоты не более двух, cycle–spider assemblies, partial injections и Dowling partitions.

05

Единое пространство для старых и новых моделей

Восемь нулево-единичных наборов весов образуют упорядоченный Boolean core. Обычные restricted-growth words, level sequences, change sequences, subexcedant sequences, Return-Growth и Reuse-Growth становятся конкретными точками одной схемы.

Для специалистов

Abstract статьи

Restricted-growth words are built by letting a prefix control which values may appear next. We introduce the weighted Event-Growth model, a three-parameter family based on three intrinsic relations between a new entry and its history: it may repeat the current value, return to another previously used value, or appear for the first time. Assigning nonnegative rewards to these Level, Return, and New events determines the future admissible range. Although admissibility depends on the entire prefix, we prove that all continuation multiplicities and state updates collapse to two integer coordinates. This yields a universal succession rule, a reversible Event-Slot encoding, a common differential system, and an integral formula for the shifted exponential generating functions. Four natural one-parameter families have exponential, Bell, Euler, and rational kernels. We construct direct bijections with colored increasing forests of height at most two, cycle–spider assemblies, partial injections, and Dowling partitions. Return-Growth and Reuse-Growth appear as neighboring points of the Euler family, placing several previously separate restricted-growth rules within one small-state and bijective framework.

Ключевые формулы

Growth budgetgₐ,ᵦ,𝑐(w) = aL(w) + bR(w) + cN(w)
Legal rulew₁ = 0, 0 ≤ wᵢ ≤ 1 + gₐ,ᵦ,𝑐(w₁…wᵢ₋₁)
Two-coordinate statep = N, q = g + 1 − N
Succession ruleL: (p,q)→(p,q+a); R: p×(p,q+b); N: q×(p+1,q+c−1)
Master flowU′ = UVᵇ, V′ = UVᶜ, M′ = MVᵃ, H = MV
Four zero–one kernelsV₀₀=eᵗ; V₀₁=e^(eᵗ−1); V₁₀=sec t+tan t; V₁₁=(1−t)⁻¹

Citation / BibTeX

@misc{kleiner2026weightedeventgrowth,
  author = {Igor Kleiner},
  title = {Weighted Event-Growth Sequences: Enumeration and Bijections},
  year = {2026},
  month = sep,
  note = {Preprint},
  doi = {10.5281/zenodo.22920635},
  url = {https://doi.org/10.5281/zenodo.22920635}
}